現(xiàn)代統(tǒng)計學

1.因子分析(Factor Analysis)

因子分析的基本目的就是用少數(shù)幾個因子去描述許多指標或因素之間的聯(lián)系,，即將相關比較密切的幾個變量歸在同一類中,，每一類變量就成為一個因子（之所以稱其為因子，是因為它是不可觀測的,，即不是具體的變量），以較少的幾個因子反映原資料的大部分信息,。
運用這種研究技術,，我們可以方便地找出影響消費者購買、消費以及滿意度的主要因素是哪些,，以及它們的影響力（權重）運用這種研究技術,，我們還可以為市場細分做前期分析。

2.主成分分析

主成分分析主要是作為一種探索性的技術,，在分析者進行多元數(shù)據(jù)分析之前,，用主成分分析來分析數(shù)據(jù)，讓自己對數(shù)據(jù)有一個大致的了解是非常重要的,。主成分分析一般很少單獨使用：a,，了解數(shù)據(jù)。(screening the data),b,和cluster analysis一起使用,，c,，和判別分析一起使用，比如當變量很多,，個案數(shù)不多,，直接使用判別分析可能無解，這時候可以使用主成份發(fā)對變量簡化,。（reduce dimensionality）d,在多元回歸中,，主成分分析可以幫助判斷是否存在共線性（條件指數(shù)），還可以用來處理共線性,。

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主成分分析和因子分析的區(qū)別

1,、因子分析中是把變量表示成各因子的線性組合，而主成分分析中則是把主成分表示成個變量的線性組合,。

2,、主成分分析的重點在于解釋個變量的總方差，而因子分析則把重點放在解釋各變量之間的協(xié)方差,。

3,、主成分分析中不需要有假設(assumptions),因子分析則需要一些假設。因子分析的假設包括：各個共同因子之間不相關,，特殊因子（specific factor）之間也不相關,，共同因子和特殊因子之間也不相關。

4,、主成分分析中,，當給定的協(xié)方差矩陣或者相關矩陣的特征值是唯一的時候，的主成分一般是獨特的,；而因子分析中因子不是獨特的,，可以旋轉得到不同的因子,。

5、在因子分析中,，因子個數(shù)需要分析者指定（spss根據(jù)一定的條件自動設定,，只要是特征值大于1的因子進入分析），而指定的因子數(shù)量不同而結果不同,。在主成分分析中,，成分的數(shù)量是一定的，一般有幾個變量就有幾個主成分,。

和主成分分析相比,，由于因子分析可以使用旋轉技術幫助解釋因子，在解釋方面更加有優(yōu)勢,。大致說來,，當需要尋找潛在的因子，并對這些因子進行解釋的時候,，更加傾向于使用因子分析,，并且借助旋轉技術幫助更好解釋。而如果想把現(xiàn)有的變量變成少數(shù)幾個新的變量（新的變量幾乎帶有原來所有變量的信息）來進入后續(xù)的分析,，則可以使用主成分分析,。當然，這中情況也可以使用因子得分做到,。所以這中區(qū)分不是絕對的,。

總得來說，主成分分析主要是作為一種探索性的技術,，在分析者進行多元數(shù)據(jù)分析之前,，用主成分分析來分析數(shù)據(jù)，讓自己對數(shù)據(jù)有一個大致的了解是非常重要的,。主成分分析一般很少單獨使用：a,，了解數(shù)據(jù)。(screening the data),b,和cluster analysis一起使用,，c,，和判別分析一起使用，比如當變量很多,，個案數(shù)不多,，直接使用判別分析可能無解，這時候可以使用主成份發(fā)對變量簡化,。（reduce dimensionality）d,在多元回歸中,，主成分分析可以幫助判斷是否存在共線性（條件指數(shù)），還可以用來處理共線性,。

在算法上,，主成分分析和因子分析很類似,，不過，在因子分析中所采用的協(xié)方差矩陣的對角元素不在是變量的方差,，而是和變量對應的共同度（變量方差中被各因子所解釋的部分）,。
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3.聚類分析(Cluster Analysis)

聚類分析是直接比較各事物之間的性質(zhì)，將性質(zhì)相近的歸為一類,，將性質(zhì)差別較大的歸入不同的類的分析技術 ,。
在市場研究領域,，聚類分析主要應用方面是幫助我們尋找目標消費群體,，運用這項研究技術，我們可以劃分出產(chǎn)品的細分市場,，并且可以描述出各細分市場的人群特征,，以便于客戶可以有針對性的對目標消費群體施加影響，合理地開展工作,。

4.判別分析(Discriminatory Analysis)

判別分析(Discriminatory Analysis)的任務是根據(jù)已掌握的1批分類明確的樣品,，建立較好的判別函數(shù)，使產(chǎn)生錯判的事例最少,，進而對給定的1個新樣品,，判斷它來自哪個總體。
根據(jù)資料的性質(zhì),，分為定性資料的判別分析和定量資料的判別分析,；采用不同的判別準則，又有費歇,、貝葉斯,、距離等判別方法。
費歇（FISHER）判別思想是投影,，使多維問題簡化為一維問題來處理,。選擇一個適當?shù)耐队拜S,使所有的樣品點都投影到這個軸上得到一個投影值。對這個投影軸的方向的要求是：使每一類內(nèi)的投影值所形成的類內(nèi)離差盡可能小,，而不同類間的投影值所形成的類間離差盡可能大,。
貝葉斯（BAYES）判別思想是根據(jù)先驗概率求出后驗概率，并依據(jù)后驗概率分布作出統(tǒng)計推斷,。所謂先驗概率,就是用概率來描述人們事先對所研究的對象的認識的程度,；所謂后驗概率，就是根據(jù)具體資料,、先驗概率,、特定的判別規(guī)則所計算出來的概率。它是對先驗概率修正后的結果,。
距離判別思想是根據(jù)各樣品與各母體之間的距離遠近作出判別,。即根據(jù)資料建立關于各母體的距離判別函數(shù)式,，將各樣品數(shù)據(jù)逐一代入計算，得出各樣品與各母體之間的距離值,，判樣品屬于距離值最小的那個母體,。

5.對應分析(Correspondence Analysis)

對應分析是一種用來研究變量與變量之間聯(lián)系緊密程度的研究技術。
運用這種研究技術,，我們可以獲取有關消費者對產(chǎn)品品牌定位方面的圖形,，從而幫助您及時調(diào)整營銷策略，以便使產(chǎn)品品牌在消費者中能樹立起正確的形象,。
這種研究技術還可以用于檢驗廣告或市場推廣活動的效果,，我們可以通過對比廣告播出前或市場推廣活動前與廣告播出后或市場推廣活動后消費者對產(chǎn)品的不同認知圖來看出廣告或市場推廣活動是否成功的向消費者傳達了需要傳達的信息。

6.典型相關分析

典型相關分析是分析兩組隨機變量間線性密切程度的統(tǒng)計方法,，是兩變量間線性相關分析的拓廣,。各組隨機變量中既可有定量隨機變量，也可有定性隨機變量(分析時須F6說明為定性變量),。本法還可以用于分析高維列聯(lián)表各邊際變量的線性關系,。

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注意：

1．嚴格地說，一個典型相關系數(shù)描述的只是一對典型變量之間的相關,，而不是兩個變量組之間的相關,。而各對典型變量之間構成的多維典型相關才共同揭示了兩個觀測變量組之間的相關形式。

2．典型相關模型的基本假設和數(shù)據(jù)要求

要求兩組變量之間為線性關系,，即每對典型變量之間為線性關系,；

每個典型變量與本組所有觀測變量的關系也是線性關系。如果不是線性關系,，可先線性化：如經(jīng)濟水平和收入水平與其他一些社會發(fā)展水之間并不是線性關系,，可先取對數(shù)。即log經(jīng)濟水平,，log收入水平,。

3．典型相關模型的基本假設和數(shù)據(jù)要求

所有觀測變量為定量數(shù)據(jù)。同時也可將定性數(shù)據(jù)按照一定形式設為虛擬變量后,，再放入典型相關模型中進行分析,。
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7.多維尺度分析(Multi-dimension Analysis)

多維尺度分析(Multi-dimension Analysis) 是市場研究的一種有力手段，它可以通過低維空間（通常是二維空間）展示多個研究對象（比如品牌）之間的聯(lián)系,，利用平面距離來反映研究對象之間的相似程度,。由于多維尺度分析法通常是基于研究對象之間的相似性（距離）的，只要獲得了兩個研究對象之間的距離矩陣,，我們就可以通過相應統(tǒng)計軟件做出他們的相似性知覺圖,。

在實際應用中，距離矩陣的獲得主要有兩種方法：一種是采用直接的相似性評價,，先所有評價對象進行兩兩組合,，然后要求被訪者所有的這些組合間進行直接相似性評價,，這種方法我們稱之為直接評價法；另一種為間接評價法,，由研究人員根據(jù)事先經(jīng)驗,，找出影響人們評價研究對象相似性的主要屬性，然后對每個研究對象,，讓被訪者對這些屬性進行逐一評價,，最后將所有屬性作為多維空間的坐標，通過距離變換計算對象之間的距離,。

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多維尺度分析的主要思路是利用對被訪者對研究對象的分組,，來反映被訪者對研究對象相似性的感知，這種方法具有一定直觀合理性,。同時該方法實施方便,，調(diào)查中被訪者負擔較小,，很容易得到理解接受,。當然，該方法的不足之處是犧牲了個體距離矩陣,，由于每個被訪者個體的距離矩陣只包含1與0兩種取值,，相對較為粗糙，個體距離矩陣的分析顯得比較勉強,。但這一點是完全可以接受的,，因為對大多數(shù)研究而言，我們并不需要知道每一個體的空間知覺圖,。
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多元統(tǒng)計分析是統(tǒng)計學中內(nèi)容十分豐富,、應用范圍極為廣泛的一個分支。在自然科學和社會科學的許多學科中,，研究者都有可能需要分析處理有多個變量的數(shù)據(jù)的問題,。能否從表面上看起來雜亂無章的數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)和提煉出規(guī)律性的結論，不僅對所研究的專業(yè)領域要有很好的訓練,，而且要掌握必要的統(tǒng)計分析工具,。對實際領域中的研究者和高等院校的研究生來說，要學習掌握多元統(tǒng)計分析的各種模型和方法,，手頭有一本好的,、有長久價值的參考書是非常必要的。這樣一本書應該滿足以下條件：首先,，它應該是“淺入深出”的,，也就是說，既可供初學者入門,，又能使有較深基礎的人受益,。其次,，它應該是既側重于應用，又兼顧必要的推理論證,，使學習者既能學到“如何”做,，而且在一定程度上了解“為什么”這樣做。最后,，它應該是內(nèi)涵豐富,、全面的，不僅要基本包括各種在實際中常用的多元統(tǒng)計分析方法,，而且還要對現(xiàn)代統(tǒng)計學的最新思想和進展有所介紹,、交代。
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因子分析

主成分分析通過線性組合將原變量綜合成幾個主成分,，用較少的綜合指標來代替原來較多的指標(變量),。在多變量分析中，某些變量間往往存在相關性,。是什么原因使變量間有關聯(lián)呢,？是否存在不能直接觀測到的、但影響可觀測變量變化的公共因子,？因子分析(Factor Analysis)就是尋找這些公共因子的模型分析方法,，它是在主成分的基礎上構筑若干意義較為明確的公因子，以它們?yōu)榭蚣芊纸庠兞?，以此考察原變量間的聯(lián)系與區(qū)別,。

例如，隨著年齡的增長,，兒童的身高,、體重會隨著變化，具有一定的相關性,，身高和體重之間為何會有相關性呢,？因為存在著一個同時支配或影響著身高與體重的生長因子,。那么,，我們能否通過對多個變量的相關系數(shù)矩陣的研究，找出同時影響或支配所有變量的共性因子呢,？因子分析就是從大量的數(shù)據(jù)中“由表及里”,、“去粗取精”，尋找影響或支配變量的多變量統(tǒng)計方法,。

可以說,，因子分析是主成分分析的推廣，也是一種把多個變量化為少數(shù)幾個綜合變量的多變量分析方法，其目的是用有限個不可觀測的隱變量來解釋原始變量之間的相關關系,。

因子分析主要用于：1,、減少分析變量個數(shù)；2,、通過對變量間相關關系探測,，將原始變量進行分類。即將相關性高的變量分為一組,，用共性因子代替該組變量,。

1. 因子分析模型

因子分析法是從研究變量內(nèi)部相關的依賴關系出發(fā)，把一些具有錯綜復雜關系的變量歸結為少數(shù)幾個綜合因子的一種多變量統(tǒng)計分析方法,。它的基本思想是將觀測變量進行分類,，將相關性較高，即聯(lián)系比較緊密的分在同一類中,，而不同類變量之間的相關性則較低,，那么每一類變量實際上就代表了一個基本結構，即公共因子,。對于所研究的問題就是試圖用最少個數(shù)的不可測的所謂公共因子的線性函數(shù)與特殊因子之和來描述原來觀測的每一分量,。

因子分析模型描述如下：

（1）X = (x1，x2,，…,，xp)￠是可觀測隨機向量，均值向量E(X)=0,，協(xié)方差陣Cov(X)=∑，且協(xié)方差陣∑與相關矩陣R相等（只要將變量標準化即可實現(xiàn)）,。

（2）F = (F1,，F(xiàn)2，…,，F(xiàn)m)￠ （m<p）是不可測的向量,，其均值向量E(F)=0，協(xié)方差矩陣Cov(F) =I,，即向量的各分量是相互獨立的,。

（3）e = (e1，e2,，…,，ep)￠與F相互獨立,且E(e)=0, e的協(xié)方差陣∑是對角陣，即各分量e之間是相互獨立的,，則模型：

x1 = a11F1+ a12F2 +…+a1mFm + e1

x2 = a21F1+a22F2 +…+a2mFm + e2

………

xp = ap1F1+ ap2F2 +…+apmFm + ep

稱為因子分析模型,，由于該模型是針對變量進行的，各因子又是正交的，所以也稱為R型正交因子模型,。

其矩陣形式為: x =AF + e .

其中：

x=,，A=，F(xiàn)=,，e=

這里,，

（1）m ￡ p；

（2）Cov(F,e)=0,，即F和e是不相關的,；

（3）D(F) = Im ，即F1,F2,…,Fm不相關且方差均為1,；

D(e)=,，即e1,e2,…,ep不相關，且方差不同,。

我們把F稱為X的公共因子或潛因子,，矩陣A稱為因子載荷矩陣，e 稱為X的特殊因子,。

A = (aij),，aij為因子載荷。數(shù)學上可以證明,，因子載荷aij就是第i變量與第j因子的相關系數(shù),，反映了第i變量在第j因子上的重要性。

2. 模型的統(tǒng)計意義

模型中F1,，F(xiàn)2,，…，F(xiàn)m叫做主因子或公共因子,，它們是在各個原觀測變量的表達式中都共同出現(xiàn)的因子,，是相互獨立的不可觀測的理論變量。公共因子的含義,，必須結合具體問題的實際意義而定,。e1，e2,，…,，ep叫做特殊因子，是向量x的分量xi(i=1,2,…,p)所特有的因子,，各特殊因子之間以及特殊因子與所有公共因子之間都是相互獨立的,。模型中載荷矩陣A中的元素(aij)是為因子載荷。因子載荷aij是xi與Fj的協(xié)方差,，也是xi與Fj的相關系數(shù),，它表示xi依賴Fj的程度,。可將aij看作第i個變量在第j公共因子上的權,，aij的絕對值越大(|aij|￡1),，表明xi與Fj的相依程度越大，或稱公共因子Fj對于xi的載荷量越大,。為了得到因子分析結果的經(jīng)濟解釋,，因子載荷矩陣A中有兩個統(tǒng)計量十分重要，即變量共同度和公共因子的方差貢獻,。

因子載荷矩陣A中第i行元素之平方和記為hi2,，稱為變量xi的共同度。它是全部公共因子對xi的方差所做出的貢獻,，反映了全部公共因子對變量xi的影響,。hi2大表明x的第i個分量xi對于F的每一分量F1，F(xiàn)2,，…,，F(xiàn)m的共同依賴程度大。

將因子載荷矩陣A的第j列( j =1,2,…,m)的各元素的平方和記為gj2,，稱為公共因子Fj對x的方差貢獻,。gj2就表示第j個公共因子Fj對于x的每一分量xi(i=1,2,…,p)所提供方差的總和，它是衡量公共因子相對重要性的指標,。gj2越大,，表明公共因子Fj對x的貢獻越大,或者說對x的影響和作用就越大。如果將因子載荷矩陣A的所有gj2 ( j =1,2,…,m)都計算出來,，使其按照大小排序,，就可以依此提煉出最有影響力的公共因子。

3. 因子旋轉

建立因子分析模型的目的不僅是找出主因子,，更重要的是知道每個主因子的意義,，以便對實際問題進行分析。如果求出主因子解后,，各個主因子的典型代表變量不很突出，還需要進行因子旋轉,，通過適當?shù)男D得到比較滿意的主因子,。

旋轉的方法有很多，正交旋轉(orthogonal rotation)和斜交旋轉(oblique rotation)是因子旋轉的兩類方法,。最常用的方法是最大方差正交旋轉法(Varimax),。進行因子旋轉，就是要使因子載荷矩陣中因子載荷的平方值向0和1兩個方向分化,，使大的載荷更大,，小的載荷更小。因子旋轉過程中，如果因子對應軸相互正交,，則稱為正交旋轉,；如果因子對應軸相互間不是正交的，則稱為斜交旋轉,。常用的斜交旋轉方法有Promax法等,。

4.因子得分

因子分析模型建立后，還有一個重要的作用是應用因子分析模型去評價每個樣品在整個模型中的地位,，即進行綜合評價,。例如地區(qū)經(jīng)濟發(fā)展的因子分析模型建立后，我們希望知道每個地區(qū)經(jīng)濟發(fā)展的情況,，把區(qū)域經(jīng)濟劃分歸類,，哪些地區(qū)發(fā)展較快，哪些中等發(fā)達,，哪些較慢等,。這時需要將公共因子用變量的線性組合來表示，也即由地區(qū)經(jīng)濟的各項指標值來估計它的因子得分,。

設公共因子F由變量x表示的線性組合為:

Fj = uj1 xj1+ uj2 xj2+…+ujpxjp j=1,2,…,m

該式稱為因子得分函數(shù),，由它來計算每個樣品的公共因子得分。若取m=2,，則將每個樣品的p個變量代入上式即可算出每個樣品的因子得分F1和F2,，并將其在平面上做因子得分散點圖，進而對樣品進行分類或對原始數(shù)據(jù)進行更深入的研究,。

但因子得分函數(shù)中方程的個數(shù)m小于變量的個數(shù)p,，所以并不能精確計算出因子得分，只能對因子得分進行估計,。估計因子得分的方法較多,，常用的有回歸估計法，Bartlett估計法,，Thomson估計法,。

（1）回歸估計法

F = X b = X (X ￠X)-1A￠ = XR-1A￠ (這里R為相關陣，且R = X ￠X ),。

（2）Bartlett估計法

Bartlett估計因子得分可由最小二乘法或極大似然法導出,。

F = [(W-1/2A)￠ W-1/2A]-1(W-1/2A)￠ W-1/2X = (A￠W-1A)-1A￠W-1X

（3）Thomson估計法

在回歸估計法中，實際上是忽略特殊因子的作用,，取R = X ￠X,，若考慮特殊因子的作，此時R = X ￠X＋W,，于是有：

F = XR-1A￠ = X (X ￠X＋W)-1A￠

這就是Thomson估計的因子得分,，使用矩陣求逆算法(參考線性代數(shù)文獻)可以將其轉換為：

F = XR-1A￠ = X (I+A￠W-1A)-1W-1A￠

5. 因子分析的步驟

因子分析的核心問題有兩個：一是如何構造因子變量,；二是如何對因子變量進行命名解釋。因此,，因子分析的基本步驟和解決思路就是圍繞這兩個核心問題展開的,。

（i）因子分析常常有以下四個基本步驟：

（1）確認待分析的原變量是否適合作因子分析。

（2）構造因子變量,。

（3）利用旋轉方法使因子變量更具有可解釋性,。

（4）計算因子變量得分。

（ii）因子分析的計算過程：

（1）將原始數(shù)據(jù)標準化,，以消除變量間在數(shù)量級和量綱上的不同,。

（2）求標準化數(shù)據(jù)的相關矩陣；

（3）求相關矩陣的特征值和特征向量,；

（4）計算方差貢獻率與累積方差貢獻率,；

（5）確定因子：

設F1，F(xiàn)2,，…, Fp為p個因子,，其中前m個因子包含的數(shù)據(jù)信息總量（即其累積貢獻率）不低于80%時，可取前m個因子來反映原評價指標,；

（6）因子旋轉：

若所得的m個因子無法確定或其實際意義不是很明顯,，這時需將因子進行旋轉以獲得較為明顯的實際含義。

（7）用原指標的線性組合來求各因子得分：

采用回歸估計法,，Bartlett估計法或Thomson估計法計算因子得分,。

（8）綜合得分

以各因子的方差貢獻率為權，由各因子的線性組合得到綜合評價指標函數(shù),。

F = (w1F1+w2F2+…+wmFm)／(w1+w2+…+wm )

此處wi為旋轉前或旋轉后因子的方差貢獻率,。

（9）得分排序：利用綜合得分可以得到得分名次。
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在采用多元統(tǒng)計分析技術進行數(shù)據(jù)處理,、建立宏觀或微觀系統(tǒng)模型時,，需要研究以下幾個方面的問題：

· 簡化系統(tǒng)結構，探討系統(tǒng)內(nèi)核,?？刹捎弥鞒煞址治觥⒁蜃臃治?、對應分析等方法,，在眾多因素中找出各個變量最佳的子集合，從子集合所包含的信息描述多變量的系統(tǒng)結果及各個因子對系統(tǒng)的影響,。“從樹木看森林”,，抓住主要矛盾,，把握主要矛盾的主要方面,，舍棄次要因素，以簡化系統(tǒng)的結構,，認識系統(tǒng)的內(nèi)核,。

· 構造預測模型，進行預報控制,。在自然和社會科學領域的科研與生產(chǎn)中,，探索多變量系統(tǒng)運動的客觀規(guī)律及其與外部環(huán)境的關系，進行預測預報,，以實現(xiàn)對系統(tǒng)的最優(yōu)控制,，是應用多元統(tǒng)計分析技術的主要目的。在多元分析中,，用于預報控制的模型有兩大類,。一類是預測預報模型，通常采用多元線性回歸或逐步回歸分析,、判別分析,、雙重篩選逐步回歸分析等建模技術。另一類是描述性模型,，通常采用聚類分析的建模技術,。

· 進行數(shù)值分類，構造分類模式,。在多變量系統(tǒng)的分析中,，往往需要將系統(tǒng)性質(zhì)相似的事物或現(xiàn)象歸為一類。以便找出它們之間的聯(lián)系和內(nèi)在規(guī)律性,。過去許多研究多是按單因素進行定性處理,，以致處理結果反映不出系統(tǒng)的總的特征。進行數(shù)值分類,，構造分類模式一般采用聚類分析和判別分析技術,。

如何選擇適當?shù)姆椒▉斫鉀Q實際問題，需要對問題進行綜合考慮,。對一個問題可以綜合運用多種統(tǒng)計方法進行分析,。例如一個預報模型的建立，可先根據(jù)有關生物學,、生態(tài)學原理,，確定理論模型和試驗設計；根據(jù)試驗結果,，收集試驗資料,；對資料進行初步提煉；然后應用統(tǒng)計分析方法(如相關分析,、逐步回歸分析,、主成分分析等)研究各個變量之間的相關性,，選擇最佳的變量子集合；在此基礎上構造預報模型,，最后對模型進行診斷和優(yōu)化處理,，并應用于生產(chǎn)實際。