現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)

1.因子分析(Factor Analysis)

因子分析的基本目的就是用少數(shù)幾個(gè)因子去描述許多指標(biāo)或因素之間的聯(lián)系,，即將相關(guān)比較密切的幾個(gè)變量歸在同一類中,，每一類變量就成為一個(gè)因子（之所以稱其為因子，是因?yàn)樗遣豢捎^測(cè)的,，即不是具體的變量）,，以較少的幾個(gè)因子反映原資料的大部分信息。
運(yùn)用這種研究技術(shù),，我們可以方便地找出影響消費(fèi)者購(gòu)買,、消費(fèi)以及滿意度的主要因素是哪些，以及它們的影響力（權(quán)重）運(yùn)用這種研究技術(shù),，我們還可以為市場(chǎng)細(xì)分做前期分析,。

2.主成分分析

主成分分析主要是作為一種探索性的技術(shù)，在分析者進(jìn)行多元數(shù)據(jù)分析之前,，用主成分分析來(lái)分析數(shù)據(jù),，讓自己對(duì)數(shù)據(jù)有一個(gè)大致的了解是非常重要的。主成分分析一般很少單獨(dú)使用：a,，了解數(shù)據(jù),。(screening the data),b,和cluster analysis一起使用，c,，和判別分析一起使用,，比如當(dāng)變量很多,，個(gè)案數(shù)不多，直接使用判別分析可能無(wú)解,，這時(shí)候可以使用主成份發(fā)對(duì)變量簡(jiǎn)化,。（reduce dimensionality）d,在多元回歸中，主成分分析可以幫助判斷是否存在共線性（條件指數(shù)）,，還可以用來(lái)處理共線性,。

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主成分分析和因子分析的區(qū)別

1、因子分析中是把變量表示成各因子的線性組合,，而主成分分析中則是把主成分表示成個(gè)變量的線性組合,。

2、主成分分析的重點(diǎn)在于解釋個(gè)變量的總方差,，而因子分析則把重點(diǎn)放在解釋各變量之間的協(xié)方差。

3,、主成分分析中不需要有假設(shè)(assumptions),因子分析則需要一些假設(shè),。因子分析的假設(shè)包括：各個(gè)共同因子之間不相關(guān)，特殊因子（specific factor）之間也不相關(guān),，共同因子和特殊因子之間也不相關(guān),。

4、主成分分析中,，當(dāng)給定的協(xié)方差矩陣或者相關(guān)矩陣的特征值是唯一的時(shí)候,，的主成分一般是獨(dú)特的；而因子分析中因子不是獨(dú)特的,，可以旋轉(zhuǎn)得到不同的因子,。

5、在因子分析中,，因子個(gè)數(shù)需要分析者指定（spss根據(jù)一定的條件自動(dòng)設(shè)定,，只要是特征值大于1的因子進(jìn)入分析），而指定的因子數(shù)量不同而結(jié)果不同,。在主成分分析中,，成分的數(shù)量是一定的，一般有幾個(gè)變量就有幾個(gè)主成分,。

和主成分分析相比,，由于因子分析可以使用旋轉(zhuǎn)技術(shù)幫助解釋因子，在解釋方面更加有優(yōu)勢(shì),。大致說(shuō)來(lái),，當(dāng)需要尋找潛在的因子，并對(duì)這些因子進(jìn)行解釋的時(shí)候,，更加傾向于使用因子分析,，并且借助旋轉(zhuǎn)技術(shù)幫助更好解釋,。而如果想把現(xiàn)有的變量變成少數(shù)幾個(gè)新的變量（新的變量幾乎帶有原來(lái)所有變量的信息）來(lái)進(jìn)入后續(xù)的分析，則可以使用主成分分析,。當(dāng)然,，這中情況也可以使用因子得分做到。所以這中區(qū)分不是絕對(duì)的,。

總得來(lái)說(shuō),，主成分分析主要是作為一種探索性的技術(shù)，在分析者進(jìn)行多元數(shù)據(jù)分析之前,，用主成分分析來(lái)分析數(shù)據(jù),，讓自己對(duì)數(shù)據(jù)有一個(gè)大致的了解是非常重要的。主成分分析一般很少單獨(dú)使用：a,，了解數(shù)據(jù),。(screening the data),b,和cluster analysis一起使用，c,，和判別分析一起使用,，比如當(dāng)變量很多，個(gè)案數(shù)不多,，直接使用判別分析可能無(wú)解,，這時(shí)候可以使用主成份發(fā)對(duì)變量簡(jiǎn)化。（reduce dimensionality）d,在多元回歸中,，主成分分析可以幫助判斷是否存在共線性（條件指數(shù)）,，還可以用來(lái)處理共線性。

在算法上,，主成分分析和因子分析很類似,，不過(guò)，在因子分析中所采用的協(xié)方差矩陣的對(duì)角元素不在是變量的方差,，而是和變量對(duì)應(yīng)的共同度（變量方差中被各因子所解釋的部分）,。
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3.聚類分析(Cluster Analysis)

聚類分析是直接比較各事物之間的性質(zhì)，將性質(zhì)相近的歸為一類,，將性質(zhì)差別較大的歸入不同的類的分析技術(shù) ,。
在市場(chǎng)研究領(lǐng)域，聚類分析主要應(yīng)用方面是幫助我們尋找目標(biāo)消費(fèi)群體,，運(yùn)用這項(xiàng)研究技術(shù),，我們可以劃分出產(chǎn)品的細(xì)分市場(chǎng)，并且可以描述出各細(xì)分市場(chǎng)的人群特征,，以便于客戶可以有針對(duì)性的對(duì)目標(biāo)消費(fèi)群體施加影響,，合理地開(kāi)展工作。

4.判別分析(Discriminatory Analysis)

判別分析(Discriminatory Analysis)的任務(wù)是根據(jù)已掌握的1批分類明確的樣品,，建立較好的判別函數(shù),，使產(chǎn)生錯(cuò)判的事例最少,，進(jìn)而對(duì)給定的1個(gè)新樣品，判斷它來(lái)自哪個(gè)總體,。
根據(jù)資料的性質(zhì),，分為定性資料的判別分析和定量資料的判別分析；采用不同的判別準(zhǔn)則,，又有費(fèi)歇,、貝葉斯、距離等判別方法,。
費(fèi)歇（FISHER）判別思想是投影,，使多維問(wèn)題簡(jiǎn)化為一維問(wèn)題來(lái)處理。選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)耐队拜S,使所有的樣品點(diǎn)都投影到這個(gè)軸上得到一個(gè)投影值,。對(duì)這個(gè)投影軸的方向的要求是：使每一類內(nèi)的投影值所形成的類內(nèi)離差盡可能小,，而不同類間的投影值所形成的類間離差盡可能大。
貝葉斯（BAYES）判別思想是根據(jù)先驗(yàn)概率求出后驗(yàn)概率,，并依據(jù)后驗(yàn)概率分布作出統(tǒng)計(jì)推斷,。所謂先驗(yàn)概率,就是用概率來(lái)描述人們事先對(duì)所研究的對(duì)象的認(rèn)識(shí)的程度；所謂后驗(yàn)概率,，就是根據(jù)具體資料、先驗(yàn)概率,、特定的判別規(guī)則所計(jì)算出來(lái)的概率,。它是對(duì)先驗(yàn)概率修正后的結(jié)果。
距離判別思想是根據(jù)各樣品與各母體之間的距離遠(yuǎn)近作出判別,。即根據(jù)資料建立關(guān)于各母體的距離判別函數(shù)式,，將各樣品數(shù)據(jù)逐一代入計(jì)算，得出各樣品與各母體之間的距離值,，判樣品屬于距離值最小的那個(gè)母體,。

5.對(duì)應(yīng)分析(Correspondence Analysis)

對(duì)應(yīng)分析是一種用來(lái)研究變量與變量之間聯(lián)系緊密程度的研究技術(shù)。
運(yùn)用這種研究技術(shù),，我們可以獲取有關(guān)消費(fèi)者對(duì)產(chǎn)品品牌定位方面的圖形,，從而幫助您及時(shí)調(diào)整營(yíng)銷策略，以便使產(chǎn)品品牌在消費(fèi)者中能樹(shù)立起正確的形象,。
這種研究技術(shù)還可以用于檢驗(yàn)廣告或市場(chǎng)推廣活動(dòng)的效果,，我們可以通過(guò)對(duì)比廣告播出前或市場(chǎng)推廣活動(dòng)前與廣告播出后或市場(chǎng)推廣活動(dòng)后消費(fèi)者對(duì)產(chǎn)品的不同認(rèn)知圖來(lái)看出廣告或市場(chǎng)推廣活動(dòng)是否成功的向消費(fèi)者傳達(dá)了需要傳達(dá)的信息。

6.典型相關(guān)分析

典型相關(guān)分析是分析兩組隨機(jī)變量間線性密切程度的統(tǒng)計(jì)方法,，是兩變量間線性相關(guān)分析的拓廣,。各組隨機(jī)變量中既可有定量隨機(jī)變量，也可有定性隨機(jī)變量(分析時(shí)須F6說(shuō)明為定性變量),。本法還可以用于分析高維列聯(lián)表各邊際變量的線性關(guān)系,。

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注意：

1．嚴(yán)格地說(shuō),，一個(gè)典型相關(guān)系數(shù)描述的只是一對(duì)典型變量之間的相關(guān)，而不是兩個(gè)變量組之間的相關(guān),。而各對(duì)典型變量之間構(gòu)成的多維典型相關(guān)才共同揭示了兩個(gè)觀測(cè)變量組之間的相關(guān)形式,。

2．典型相關(guān)模型的基本假設(shè)和數(shù)據(jù)要求

要求兩組變量之間為線性關(guān)系，即每對(duì)典型變量之間為線性關(guān)系,；

每個(gè)典型變量與本組所有觀測(cè)變量的關(guān)系也是線性關(guān)系,。如果不是線性關(guān)系，可先線性化：如經(jīng)濟(jì)水平和收入水平與其他一些社會(huì)發(fā)展水之間并不是線性關(guān)系,，可先取對(duì)數(shù),。即log經(jīng)濟(jì)水平，log收入水平,。

3．典型相關(guān)模型的基本假設(shè)和數(shù)據(jù)要求

所有觀測(cè)變量為定量數(shù)據(jù),。同時(shí)也可將定性數(shù)據(jù)按照一定形式設(shè)為虛擬變量后，再放入典型相關(guān)模型中進(jìn)行分析,。
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7.多維尺度分析(Multi-dimension Analysis)

多維尺度分析(Multi-dimension Analysis) 是市場(chǎng)研究的一種有力手段,，它可以通過(guò)低維空間（通常是二維空間）展示多個(gè)研究對(duì)象（比如品牌）之間的聯(lián)系，利用平面距離來(lái)反映研究對(duì)象之間的相似程度,。由于多維尺度分析法通常是基于研究對(duì)象之間的相似性（距離）的,，只要獲得了兩個(gè)研究對(duì)象之間的距離矩陣，我們就可以通過(guò)相應(yīng)統(tǒng)計(jì)軟件做出他們的相似性知覺(jué)圖,。

在實(shí)際應(yīng)用中,，距離矩陣的獲得主要有兩種方法：一種是采用直接的相似性評(píng)價(jià)，先所有評(píng)價(jià)對(duì)象進(jìn)行兩兩組合,，然后要求被訪者所有的這些組合間進(jìn)行直接相似性評(píng)價(jià),，這種方法我們稱之為直接評(píng)價(jià)法；另一種為間接評(píng)價(jià)法,，由研究人員根據(jù)事先經(jīng)驗(yàn),，找出影響人們?cè)u(píng)價(jià)研究對(duì)象相似性的主要屬性，然后對(duì)每個(gè)研究對(duì)象,，讓被訪者對(duì)這些屬性進(jìn)行逐一評(píng)價(jià),，最后將所有屬性作為多維空間的坐標(biāo)，通過(guò)距離變換計(jì)算對(duì)象之間的距離,。

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多維尺度分析的主要思路是利用對(duì)被訪者對(duì)研究對(duì)象的分組,，來(lái)反映被訪者對(duì)研究對(duì)象相似性的感知，這種方法具有一定直觀合理性,。同時(shí)該方法實(shí)施方便,，調(diào)查中被訪者負(fù)擔(dān)較小，很容易得到理解接受,。當(dāng)然,，該方法的不足之處是犧牲了個(gè)體距離矩陣,，由于每個(gè)被訪者個(gè)體的距離矩陣只包含1與0兩種取值，相對(duì)較為粗糙,，個(gè)體距離矩陣的分析顯得比較勉強(qiáng),。但這一點(diǎn)是完全可以接受的，因?yàn)閷?duì)大多數(shù)研究而言,，我們并不需要知道每一個(gè)體的空間知覺(jué)圖,。
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多元統(tǒng)計(jì)分析是統(tǒng)計(jì)學(xué)中內(nèi)容十分豐富、應(yīng)用范圍極為廣泛的一個(gè)分支,。在自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的許多學(xué)科中,，研究者都有可能需要分析處理有多個(gè)變量的數(shù)據(jù)的問(wèn)題。能否從表面上看起來(lái)雜亂無(wú)章的數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)和提煉出規(guī)律性的結(jié)論,，不僅對(duì)所研究的專業(yè)領(lǐng)域要有很好的訓(xùn)練,，而且要掌握必要的統(tǒng)計(jì)分析工具。對(duì)實(shí)際領(lǐng)域中的研究者和高等院校的研究生來(lái)說(shuō),，要學(xué)習(xí)掌握多元統(tǒng)計(jì)分析的各種模型和方法,，手頭有一本好的、有長(zhǎng)久價(jià)值的參考書(shū)是非常必要的,。這樣一本書(shū)應(yīng)該滿足以下條件：首先,，它應(yīng)該是“淺入深出”的，也就是說(shuō),，既可供初學(xué)者入門,，又能使有較深基礎(chǔ)的人受益。其次,，它應(yīng)該是既側(cè)重于應(yīng)用，又兼顧必要的推理論證,，使學(xué)習(xí)者既能學(xué)到“如何”做,，而且在一定程度上了解“為什么”這樣做。最后,，它應(yīng)該是內(nèi)涵豐富,、全面的，不僅要基本包括各種在實(shí)際中常用的多元統(tǒng)計(jì)分析方法,，而且還要對(duì)現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)的最新思想和進(jìn)展有所介紹,、交代。
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因子分析

主成分分析通過(guò)線性組合將原變量綜合成幾個(gè)主成分,，用較少的綜合指標(biāo)來(lái)代替原來(lái)較多的指標(biāo)(變量),。在多變量分析中，某些變量間往往存在相關(guān)性,。是什么原因使變量間有關(guān)聯(lián)呢,？是否存在不能直接觀測(cè)到的,、但影響可觀測(cè)變量變化的公共因子？因子分析(Factor Analysis)就是尋找這些公共因子的模型分析方法,，它是在主成分的基礎(chǔ)上構(gòu)筑若干意義較為明確的公因子,，以它們?yōu)榭蚣芊纸庠兞浚源丝疾煸兞块g的聯(lián)系與區(qū)別,。

例如,，隨著年齡的增長(zhǎng)，兒童的身高,、體重會(huì)隨著變化,，具有一定的相關(guān)性，身高和體重之間為何會(huì)有相關(guān)性呢,？因?yàn)榇嬖谥粋€(gè)同時(shí)支配或影響著身高與體重的生長(zhǎng)因子,。那么，我們能否通過(guò)對(duì)多個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)矩陣的研究,，找出同時(shí)影響或支配所有變量的共性因子呢,？因子分析就是從大量的數(shù)據(jù)中“由表及里”、“去粗取精”,，尋找影響或支配變量的多變量統(tǒng)計(jì)方法,。

可以說(shuō)，因子分析是主成分分析的推廣,，也是一種把多個(gè)變量化為少數(shù)幾個(gè)綜合變量的多變量分析方法,，其目的是用有限個(gè)不可觀測(cè)的隱變量來(lái)解釋原始變量之間的相關(guān)關(guān)系。

因子分析主要用于：1,、減少分析變量個(gè)數(shù),；2、通過(guò)對(duì)變量間相關(guān)關(guān)系探測(cè),，將原始變量進(jìn)行分類,。即將相關(guān)性高的變量分為一組，用共性因子代替該組變量,。

1. 因子分析模型

因子分析法是從研究變量?jī)?nèi)部相關(guān)的依賴關(guān)系出發(fā),，把一些具有錯(cuò)綜復(fù)雜關(guān)系的變量歸結(jié)為少數(shù)幾個(gè)綜合因子的一種多變量統(tǒng)計(jì)分析方法。它的基本思想是將觀測(cè)變量進(jìn)行分類,，將相關(guān)性較高,，即聯(lián)系比較緊密的分在同一類中，而不同類變量之間的相關(guān)性則較低,，那么每一類變量實(shí)際上就代表了一個(gè)基本結(jié)構(gòu),，即公共因子。對(duì)于所研究的問(wèn)題就是試圖用最少個(gè)數(shù)的不可測(cè)的所謂公共因子的線性函數(shù)與特殊因子之和來(lái)描述原來(lái)觀測(cè)的每一分量。

因子分析模型描述如下：

（1）X = (x1,，x2,，…，xp)￠是可觀測(cè)隨機(jī)向量,，均值向量E(X)=0,，協(xié)方差陣Cov(X)=∑，且協(xié)方差陣∑與相關(guān)矩陣R相等（只要將變量標(biāo)準(zhǔn)化即可實(shí)現(xiàn)）,。

（2）F = (F1,，F(xiàn)2，…,，F(xiàn)m)￠ （m<p）是不可測(cè)的向量,，其均值向量E(F)=0，協(xié)方差矩陣Cov(F) =I,，即向量的各分量是相互獨(dú)立的,。

（3）e = (e1，e2,，…,，ep)￠與F相互獨(dú)立,且E(e)=0, e的協(xié)方差陣∑是對(duì)角陣，即各分量e之間是相互獨(dú)立的,，則模型：

x1 = a11F1+ a12F2 +…+a1mFm + e1

x2 = a21F1+a22F2 +…+a2mFm + e2

………

xp = ap1F1+ ap2F2 +…+apmFm + ep

稱為因子分析模型,，由于該模型是針對(duì)變量進(jìn)行的，各因子又是正交的,，所以也稱為R型正交因子模型,。

其矩陣形式為: x =AF + e .

其中：

x=，A=,，F(xiàn)=,，e=

這里，

（1）m ￡ p,；

（2）Cov(F,e)=0,，即F和e是不相關(guān)的；

（3）D(F) = Im ,，即F1,F2,…,Fm不相關(guān)且方差均為1；

D(e)=,，即e1,e2,…,ep不相關(guān),，且方差不同。

我們把F稱為X的公共因子或潛因子,，矩陣A稱為因子載荷矩陣,，e 稱為X的特殊因子。

A = (aij)，aij為因子載荷,。數(shù)學(xué)上可以證明,，因子載荷aij就是第i變量與第j因子的相關(guān)系數(shù)，反映了第i變量在第j因子上的重要性,。

2. 模型的統(tǒng)計(jì)意義

模型中F1,，F(xiàn)2，…,，F(xiàn)m叫做主因子或公共因子,，它們是在各個(gè)原觀測(cè)變量的表達(dá)式中都共同出現(xiàn)的因子，是相互獨(dú)立的不可觀測(cè)的理論變量,。公共因子的含義,，必須結(jié)合具體問(wèn)題的實(shí)際意義而定。e1,，e2,，…，ep叫做特殊因子,，是向量x的分量xi(i=1,2,…,p)所特有的因子,，各特殊因子之間以及特殊因子與所有公共因子之間都是相互獨(dú)立的。模型中載荷矩陣A中的元素(aij)是為因子載荷,。因子載荷aij是xi與Fj的協(xié)方差,，也是xi與Fj的相關(guān)系數(shù)，它表示xi依賴Fj的程度,?？蓪ij看作第i個(gè)變量在第j公共因子上的權(quán)，aij的絕對(duì)值越大(|aij|￡1),，表明xi與Fj的相依程度越大,，或稱公共因子Fj對(duì)于xi的載荷量越大。為了得到因子分析結(jié)果的經(jīng)濟(jì)解釋,，因子載荷矩陣A中有兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量十分重要,，即變量共同度和公共因子的方差貢獻(xiàn)。

因子載荷矩陣A中第i行元素之平方和記為hi2,，稱為變量xi的共同度,。它是全部公共因子對(duì)xi的方差所做出的貢獻(xiàn)，反映了全部公共因子對(duì)變量xi的影響,。hi2大表明x的第i個(gè)分量xi對(duì)于F的每一分量F1,，F(xiàn)2，…,，F(xiàn)m的共同依賴程度大,。

將因子載荷矩陣A的第j列( j =1,2,…,m)的各元素的平方和記為gj2，稱為公共因子Fj對(duì)x的方差貢獻(xiàn)。gj2就表示第j個(gè)公共因子Fj對(duì)于x的每一分量xi(i=1,2,…,p)所提供方差的總和,，它是衡量公共因子相對(duì)重要性的指標(biāo),。gj2越大，表明公共因子Fj對(duì)x的貢獻(xiàn)越大,或者說(shuō)對(duì)x的影響和作用就越大,。如果將因子載荷矩陣A的所有g(shù)j2 ( j =1,2,…,m)都計(jì)算出來(lái),，使其按照大小排序，就可以依此提煉出最有影響力的公共因子,。

3. 因子旋轉(zhuǎn)

建立因子分析模型的目的不僅是找出主因子,，更重要的是知道每個(gè)主因子的意義，以便對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析,。如果求出主因子解后,，各個(gè)主因子的典型代表變量不很突出，還需要進(jìn)行因子旋轉(zhuǎn),，通過(guò)適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)得到比較滿意的主因子,。

旋轉(zhuǎn)的方法有很多，正交旋轉(zhuǎn)(orthogonal rotation)和斜交旋轉(zhuǎn)(oblique rotation)是因子旋轉(zhuǎn)的兩類方法,。最常用的方法是最大方差正交旋轉(zhuǎn)法(Varimax),。進(jìn)行因子旋轉(zhuǎn)，就是要使因子載荷矩陣中因子載荷的平方值向0和1兩個(gè)方向分化,，使大的載荷更大,，小的載荷更小。因子旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,，如果因子對(duì)應(yīng)軸相互正交,，則稱為正交旋轉(zhuǎn)；如果因子對(duì)應(yīng)軸相互間不是正交的,，則稱為斜交旋轉(zhuǎn),。常用的斜交旋轉(zhuǎn)方法有Promax法等。

4.因子得分

因子分析模型建立后,，還有一個(gè)重要的作用是應(yīng)用因子分析模型去評(píng)價(jià)每個(gè)樣品在整個(gè)模型中的地位,，即進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)。例如地區(qū)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的因子分析模型建立后,，我們希望知道每個(gè)地區(qū)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的情況,，把區(qū)域經(jīng)濟(jì)劃分歸類，哪些地區(qū)發(fā)展較快,，哪些中等發(fā)達(dá),，哪些較慢等。這時(shí)需要將公共因子用變量的線性組合來(lái)表示,，也即由地區(qū)經(jīng)濟(jì)的各項(xiàng)指標(biāo)值來(lái)估計(jì)它的因子得分,。

設(shè)公共因子F由變量x表示的線性組合為:

Fj = uj1 xj1+ uj2 xj2+…+ujpxjp j=1,2,…,m

該式稱為因子得分函數(shù)，由它來(lái)計(jì)算每個(gè)樣品的公共因子得分,。若取m=2,，則將每個(gè)樣品的p個(gè)變量代入上式即可算出每個(gè)樣品的因子得分F1和F2，并將其在平面上做因子得分散點(diǎn)圖,，進(jìn)而對(duì)樣品進(jìn)行分類或?qū)υ紨?shù)據(jù)進(jìn)行更深入的研究,。

但因子得分函數(shù)中方程的個(gè)數(shù)m小于變量的個(gè)數(shù)p，所以并不能精確計(jì)算出因子得分,，只能對(duì)因子得分進(jìn)行估計(jì),。估計(jì)因子得分的方法較多，常用的有回歸估計(jì)法,，Bartlett估計(jì)法,，Thomson估計(jì)法。

（1）回歸估計(jì)法

F = X b = X (X ￠X)-1A￠ = XR-1A￠ (這里R為相關(guān)陣,，且R = X ￠X ),。

（2）Bartlett估計(jì)法

Bartlett估計(jì)因子得分可由最小二乘法或極大似然法導(dǎo)出。

F = [(W-1/2A)￠ W-1/2A]-1(W-1/2A)￠ W-1/2X = (A￠W-1A)-1A￠W-1X

（3）Thomson估計(jì)法

在回歸估計(jì)法中,，實(shí)際上是忽略特殊因子的作用,，取R = X ￠X，若考慮特殊因子的作,，此時(shí)R = X ￠X＋W,，于是有：

F = XR-1A￠ = X (X ￠X＋W)-1A￠

這就是Thomson估計(jì)的因子得分，使用矩陣求逆算法(參考線性代數(shù)文獻(xiàn))可以將其轉(zhuǎn)換為：

F = XR-1A￠ = X (I+A￠W-1A)-1W-1A￠

5. 因子分析的步驟

因子分析的核心問(wèn)題有兩個(gè)：一是如何構(gòu)造因子變量,；二是如何對(duì)因子變量進(jìn)行命名解釋,。因此，因子分析的基本步驟和解決思路就是圍繞這兩個(gè)核心問(wèn)題展開(kāi)的,。

（i）因子分析常常有以下四個(gè)基本步驟：

（1）確認(rèn)待分析的原變量是否適合作因子分析,。

（2）構(gòu)造因子變量。

（3）利用旋轉(zhuǎn)方法使因子變量更具有可解釋性,。

（4）計(jì)算因子變量得分,。

（ii）因子分析的計(jì)算過(guò)程：

（1）將原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化，以消除變量間在數(shù)量級(jí)和量綱上的不同,。

（2）求標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)的相關(guān)矩陣,；

（3）求相關(guān)矩陣的特征值和特征向量；

（4）計(jì)算方差貢獻(xiàn)率與累積方差貢獻(xiàn)率,；

（5）確定因子：

設(shè)F1,，F(xiàn)2，…, Fp為p個(gè)因子,，其中前m個(gè)因子包含的數(shù)據(jù)信息總量（即其累積貢獻(xiàn)率）不低于80%時(shí),，可取前m個(gè)因子來(lái)反映原評(píng)價(jià)指標(biāo),；

（6）因子旋轉(zhuǎn)：

若所得的m個(gè)因子無(wú)法確定或其實(shí)際意義不是很明顯，這時(shí)需將因子進(jìn)行旋轉(zhuǎn)以獲得較為明顯的實(shí)際含義,。

（7）用原指標(biāo)的線性組合來(lái)求各因子得分：

采用回歸估計(jì)法,，Bartlett估計(jì)法或Thomson估計(jì)法計(jì)算因子得分。

（8）綜合得分

以各因子的方差貢獻(xiàn)率為權(quán),，由各因子的線性組合得到綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)函數(shù),。

F = (w1F1+w2F2+…+wmFm)／(w1+w2+…+wm )

此處wi為旋轉(zhuǎn)前或旋轉(zhuǎn)后因子的方差貢獻(xiàn)率。

（9）得分排序：利用綜合得分可以得到得分名次,。
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在采用多元統(tǒng)計(jì)分析技術(shù)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理,、建立宏觀或微觀系統(tǒng)模型時(shí)，需要研究以下幾個(gè)方面的問(wèn)題：

· 簡(jiǎn)化系統(tǒng)結(jié)構(gòu),，探討系統(tǒng)內(nèi)核,。可采用主成分分析,、因子分析,、對(duì)應(yīng)分析等方法，在眾多因素中找出各個(gè)變量最佳的子集合,，從子集合所包含的信息描述多變量的系統(tǒng)結(jié)果及各個(gè)因子對(duì)系統(tǒng)的影響,。“從樹(shù)木看森林”,，抓住主要矛盾,，把握主要矛盾的主要方面，舍棄次要因素,，以簡(jiǎn)化系統(tǒng)的結(jié)構(gòu),，認(rèn)識(shí)系統(tǒng)的內(nèi)核。

· 構(gòu)造預(yù)測(cè)模型,，進(jìn)行預(yù)報(bào)控制,。在自然和社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域的科研與生產(chǎn)中，探索多變量系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的客觀規(guī)律及其與外部環(huán)境的關(guān)系,，進(jìn)行預(yù)測(cè)預(yù)報(bào),，以實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的最優(yōu)控制，是應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)分析技術(shù)的主要目的,。在多元分析中,，用于預(yù)報(bào)控制的模型有兩大類。一類是預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)模型,，通常采用多元線性回歸或逐步回歸分析,、判別分析、雙重篩選逐步回歸分析等建模技術(shù),。另一類是描述性模型,，通常采用聚類分析的建模技術(shù),。

· 進(jìn)行數(shù)值分類，構(gòu)造分類模式,。在多變量系統(tǒng)的分析中,，往往需要將系統(tǒng)性質(zhì)相似的事物或現(xiàn)象歸為一類。以便找出它們之間的聯(lián)系和內(nèi)在規(guī)律性,。過(guò)去許多研究多是按單因素進(jìn)行定性處理，以致處理結(jié)果反映不出系統(tǒng)的總的特征,。進(jìn)行數(shù)值分類,，構(gòu)造分類模式一般采用聚類分析和判別分析技術(shù)。

如何選擇適當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)解決實(shí)際問(wèn)題,，需要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行綜合考慮,。對(duì)一個(gè)問(wèn)題可以綜合運(yùn)用多種統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行分析。例如一個(gè)預(yù)報(bào)模型的建立,，可先根據(jù)有關(guān)生物學(xué),、生態(tài)學(xué)原理，確定理論模型和試驗(yàn)設(shè)計(jì),；根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果,，收集試驗(yàn)資料；對(duì)資料進(jìn)行初步提煉,；然后應(yīng)用統(tǒng)計(jì)分析方法(如相關(guān)分析,、逐步回歸分析、主成分分析等)研究各個(gè)變量之間的相關(guān)性,，選擇最佳的變量子集合,；在此基礎(chǔ)上構(gòu)造預(yù)報(bào)模型，最后對(duì)模型進(jìn)行診斷和優(yōu)化處理,，并應(yīng)用于生產(chǎn)實(shí)際,。