聚點的定義,？

聚點

聚點是拓撲空間的基本概念之一,。設A為拓撲空間X的子集，a∈X,，若a的任意鄰域都含有異于a的A中的點,，則稱a是A的聚點。集合A的所有聚點的集合稱為A的導集,，聚點和導集等概念是康托爾(Cantor,G.(F.P.))研究歐幾里得空間的子集時首先提出的,。

中文名

聚點

外文名

clusterpoint、accumulationpoint

所屬學科

拓撲學

提出者

康托爾

什么叫聚點,？

聚點,，也叫極限點，是點集拓撲上的一個概念,，若x0的每個鄰域上都含有除了它本身以外A的元素,，則x0就是A的極限點。微積分實際上研究的是歐氏空間的分析性質（比如連續(xù)性,、可導性,、可積性），而歐氏空間是最常見的度量空間（帶有度量的拓撲空間）,，所以聚點作為拓撲學的概念也很自然出現(xiàn)在微積分里,。同時出現(xiàn)的有：開集、閉集,、鄰域（但是微積分中的鄰域其實是拓撲學的球形鄰域）,、內點、閉包,、導集,、內部...

這些內容為什么出現(xiàn)在微積分里面是因為用他們可以分析和限定點集的結構和性質。比如連續(xù)性,。一元微積分中連續(xù)性是用epsilon-delta語言定義：

如果你用鄰域的語言翻譯一下函數(shù)在x0連續(xù)的定義就是：設E為f的定義域,，對任意f（x0）的鄰域A，存在x0的鄰域B,，使得f（B交E）是A的子集（即任意B交E中元素的函數(shù)值在A中）,。所以說，微積分的很多概念是可以用拓撲上的概念去表示的,，進而我們對更一般的拓撲空間進行研究,，其結果能自然推廣到微積分上。而且用拓撲學的概念的話,，很多一元和多元理論就沒有界限了,，甚至在所有形式的拓撲空間中都能得到統(tǒng)一，這樣有助于我們統(tǒng)一的認識它們，比如多元函數(shù)連續(xù)性,，如果你用鄰域的語言描述的話,，仍然是上面那句話。

在一元微積分中,，我們可以避免使用拓撲學的術語是因為實軸的結構沒那么復雜,，開區(qū)間、閉區(qū)間這樣的結構就很夠用,，但是到了高維中你不僅僅能畫出圓,、矩形這樣的規(guī)則圖形，還能畫出各種奇怪的連通的圖形,，而且開和閉的概念也沒有那么清晰了,，所以引入聚點等概念去刻畫就成了必要的了,。有些人可能覺得,，開閉什么的無所謂，但實際上開集和閉集是很重要的概念,，它們都有特別的性質,，作為一個很簡單的例子，就是閉區(qū)間的連續(xù)函數(shù)有最值和介值性,。這個在開區(qū)間上是沒有的,。這個性質也可以推廣：有界閉集上的連續(xù)函數(shù)有最值和介值性。它依賴于實數(shù)的完備性,，可以用：有界閉集S的任意無限子集必在S中有聚點去證明,。

另外，雖然確實聚點可以分成邊界點和內點,。但邊界點這個概念并不重要,，邊界點的定義為不是內點的聚點。大家或許很喜歡用圖去形象的了解內點,、極限點的關系：

但要知道的是,，圖形并不是只有長得那么中規(guī)中矩的圖形，點集也并不一定要圍成一個圖形,。如果用這樣的圖形去記憶什么點是什么點是不嚴謹?shù)摹?/p>

什么是聚點,？

聚點是拓撲空間的基本概念之一。設A為拓撲空間X的子集,，a∈X,，若a的任意鄰域都含有異于a的A中的點，則稱a是A的聚點,。集合A的所有聚點的集合稱為A的導集,，聚點和導集等概念是康托爾(Cantor，G.(F.P.))研究歐幾里得空間的子集時首先提出的。

海恩-波萊爾定理（Heine-Borel）假設E為有界閉集,，且對E內每一點z都作一個以這一點為圓心的圓域 (這個圓的半徑?jīng)]有限制,，它可以取任意正實數(shù))，則在這些圓中必可以找到有限多個來把有界閉集E復蓋住,，換句話說,，E的每一點至少屬于這有限個圓域中的一個圓域的內部。此定理又叫做有限復蓋定理,，它是復變函數(shù)論里的重要定理,。

擴展資料

聚點x是x的任意領域內都有無窮多個點，邊界點是聚點,，但聚點不一定是邊界點,。

通俗地，對于數(shù)軸上點集E的聚點P,，總可以在E中找到一個無窮數(shù)列a(n)（不等于P）,，使得lima(n）=P，又舉例來說,，空間中一個球體的內部以及表面上的任何一個點都是該球體的聚點,。

對于有限點集，是不存在聚點的,。聚點可以是E中的點,，也可以不屬于E。

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怎樣區(qū)分內點、聚點,、孤立點,？

設有點集E區(qū)別：內點,、孤立點必屬于E，外點必不屬于E,，邊界點,、聚點可屬于E可不屬于E。

內點：①屬于E②存在一個鄰域全含于E外點：

①不屬于E②存在一個鄰域全含于E的補集,，即存在一個鄰域∩E=?邊界點：全部鄰域同時有屬于E,、不屬于E的點聚點：全部鄰域都有E的無窮多點孤立點：

①屬于E②不是聚點，即存在一個鄰域∩E={該點}關系：內點一定是聚點,，聚點可能是內點可能是邊界點 孤立點一定是邊界點,，邊界點可能是孤立點可能是聚點

孤立點和聚點的區(qū)別？

孤立點和聚點是指在數(shù)據(jù)分布中的點的特征,。孤立點是指在數(shù)據(jù)分布中,，相對于周圍的點而言，該點過于孤立或者異常,，與周圍的點相差較大,，不符合數(shù)據(jù)的分布規(guī)律。例如,，在一個身高數(shù)據(jù)的分布中,，有一個人的身高是1.9米,，而其他人的身高都在1.6米到1.8米之間,，這個身高為1.9米的人就可以被看作是孤立點。

聚點則相反,，是指在數(shù)據(jù)分布中,，有一些點聚集在一起，與周圍的點相比,，它們的值比較相似,。例如，在一個考試成績的分布中,，有一些學生的成績都集中在90分以上,，這些學生的成績就可以被看作是聚點。

在數(shù)據(jù)分析中,，孤立點和聚點都是需要注意的,，因為它們可能會影響到數(shù)據(jù)的分析結果，需要進行相應的處理,。

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數(shù)集的聚點,？

聚點是拓撲空間的基本概念之一。設A為拓撲空間X的子集,，a∈X,，若a的任意鄰域都含有異于a的A中的點，則稱a是A的聚點,。集合A的所有聚點的集合稱為A的導集,，聚點和導集等的概念是康托爾(Cantor,G.(F.P.))研究歐幾里得空間的子集時首先提出的。

什么是無后聚點,？

? ? ? ?無后聚點是數(shù)學《統(tǒng)計與極限》中的一部分,，它是指在高等數(shù)學中又被叫做“極限點”的定義，即：設E是數(shù)軸上的無限點集,，P是數(shù)軸上的一個定點(可以屬于E,也可以不屬于E),。

? ? ?若任意的e大于0，點P的e鄰域U（P,，e）都含有E的無限多個點,，則稱P是E的一個聚點。